Le matrici possono essere viste come un vettore di vettori. Su di esse si possono effettuare operazioni di somma e prodotto come avviene per i vettori.
Per sommare due matrici, esse devono avere la stessa dimensione (m × n). Il risultato è una matrice (m × n).
Per moltiplicare due matrici (prodotto righe per colonne), il numero di colonne della prima deve essere uguale al nomero di righe della seconda. moltiplicando una matrice (m × n) per una (n × p) si ottiene una matrice (m × p).
La trasposizione di una matrice (m × n) genera una matrice (m × n) in cui le righe corrispondono alle colonne dell'originale. Effettuando quindi un numero pari di trasposizioni si ottiene la matrice originale.
Il determinante di una matrice quadrata è una funzione che associa un valore scalare ad una matrice per poterla meglio analizzare.
Geometricamente, il modulo del determinante di una matrice 2 × 2 equivale all'area del poligono creato dai due vettori che compongono la matrice, mentre il segno determina l'eventuale rotazione dell'orientamento del piano.
Analogamente, in uno spazio di dimensione 3, il valore assoluto del determinante equivale al volume del solido generato dalla matrice.
Come abbiamo visto precedentemente, le matrici 2x2 descrivono nel piano cartesiano dei quadrilateri dei quali si può conoscere l'area semplicemente calcolando il determinante.
Vediamo ora graficamente cosa rappresentano le matrici risultanti di operazioni di somma e moltiplicazione.
Come si può vedere, il determinante del prodotto delle due matrici equivale al
prodotto dei determinanti delle matrici (Teorema di Binet);
questo significa che l'area del quadrilatero finale equivale al prodotto delle aree delle due quadrilateri generatori.
Un fatto curioso è che la somma dei due determinanti equivale al determinante della somma delle due matrici solo se queste descrivono nel piano dei rettangoli.
Ogni trasformazione lineare di R^2 in R^2 si può rappresentare con una matrice quadrata 2 × 2. L'applicazione determinata da una matrice A trasforma un vettore u nel vettore A×u = v, che ha le stesse dimensioni di u e orientato nel piano in base ad A.
Creato da Maurizio Gino Nolli con GeoGebra